PARALELAS Y PERPENDICULARES
Perpendiculares y paralelas
Perpendiculares
Simplemente significa en ángulos rectos (90°) con.
La línea roja es perpendicular a la azul en estos dos casos:
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(La cajita en la esquina significa "en ángulos rectos", así que no hacía falta poner también que son 90°, ¡pero queríamos hacerlo!)
Paralelas
Dos líneas son paralelas si siempre están a la misma distancia (se llaman "equidistantes"), y no se van a encontrar nunca. (También apuntan en la misma dirección). Sólo recuerda:
Siempre la misma distancia y no se encuentran nunca.
La línea roja es paralela a la azul en estos dos casos:
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Ejemplo 1
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Ejemplo 2
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De perpendiculares a paralelas
Pregunta: ¿Qué diferencia hay entre perpendiculares y paralelas?
Respuesta: 90 grados (un ángulo recto)
Respuesta: 90 grados (un ángulo recto)
Es verdad, si giras una línea perpendicular 90° se volverá paralela (¡pero no si la toca!), y también al revés.
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Perpendiculares...
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Girar una línea 90°
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... ¡Paralelas!
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Curvas paralelas
Las curvas también pueden ser paralelas cuando están siempre a la misma distancia (se llaman "equidistantes"), y nunca se encuentran. Como las vías de un tren.
La curva roja es paralela a la azul en los dos casos:
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Superficies paralelas
Las superficies también pueden ser paralelas, siempre que se cumpla la regla: siempre a la misma distancia y sin tocarse nunca.
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Estrujarse la cabeza
Algo que me hace romperme la cabeza: sabemos que si tenemos dos líneas paralelas y giramos una de ellas 90°, serán perpendiculares, ¿verdad? Bueno, ¿pasa lo mismo con curvas? ¿Podemos tener "curvas perpendiculares", girando una de ellas 90°? Yo no lo sé, pero es divertido pensarlo un poco.
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales.
Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta.
El trazado de perpendiculares puede efectuarse de las siguientes formas:
w Con compás, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, o cuando son coincidentes.
Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una paralela a dicha recta.
El trazado de paralelas puede efectuarse de las siguientes formas:
w Con regla y compás
En un plano, dos rectas perpendiculares
a una tercera son paralelas.
Propiedades de la perpendicularidad
Propiedades del paralelismo
Teorema
En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.
Hipótesis
Tesis
Demostración
(por el método del absurdo)
Si a no fuera paralela a b , las rectas se cortarían en un punto R.
Por hipótesis, por el punto R pasarían dos rectas perpendiculares a la recta c.
y ésto es absurdo ya que por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una perpendicular a la misma.
Angulos determinados por dos rectas paralelas
cortadas por una transversal
Dos rectas cualesquiera cortadas por una tercera determinan ocho ángulos.
De acuerdo a la ubicación de los mismos se clasifican en:
w Angulos correspondientes
w Angulos alternos
w Angulos conjugados
Angulos interiores
Los ángulos ubicados en la zona comprendida entre las rectas paralelas se llaman ángulos interiores.
Angulos exteriores
Los ángulos que no son interiores se denominan ángulos exteriores.
Angulos correspondientes
Si dos ángulos están ubicados de un mismo lado de la transversal, uno es interior y el otro es exterior, se los llama ángulos correspondientes.
Los ángulos correspondientes entre paralelas son iguales.
Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos correspondientes iguales, las rectas son paralelas.
Angulos alternos internos
Si dos ángulos están situados en distintos semiplanos con respecto a la transversal y ambos son internos, se los llama ángulos alternos internos.
Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales.
Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos alternos internos iguales, las rectas son paralelas.
Angulos alternos externos
Si dos ángulos están situados en distintos semiplanos con respecto a la transversal y ambos son externos, se los llama ángulos alternos externos.
Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales.
Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos alternos externos iguales, las rectas son paralelas.
Angulos conjugados internos
Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal y ambos son internos, se los llama ángulos conjugados internos.
Los ángulos conjugados internos entre paralelas son suplementarios.
Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos conjugados internos suplementarios, las rectas son paralelas.
Angulos conjugados externos
Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal y ambos son externos, se los llama ángulos conjugados externos.
Los ángulos conjugados internos entre paralelas son suplementarios.
Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos conjugados internos suplementarios, las rectas son paralelas.
Podrás practicar el trazado en este enlace.
Sigue estos enlaces y tendrás más posibilidades de ejercitar
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